В сосуд, со­дер­жа­щий 5 лит­ров 12–про­цент­но­го вод­но­го рас­тво­ра не­ко­то­ро­го ве­ще­ства...

Задача входит в состав ЕГЭ 2017 года под №11
В сосуд, со­дер­жа­щий 5 лит­ров 12–про­цент­но­го вод­но­го рас­тво­ра не­ко­то­ро­го ве­ще­ства, до­ба­ви­ли 7 лит­ров воды. Сколь­ко про­цен­тов со­став­ля­ет кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра?

Ре­ше­ние.

Кон­цен­тра­ция рас­тво­ра вычисляется по формуле:

.

Объем ве­ще­ства в ис­ход­ном рас­тво­ре равен литра. При до­бав­ле­нии 7 лит­ров воды общий объем рас­тво­ра уве­ли­чит­ся, а объем рас­тво­рен­но­го ве­ще­ства оста­нет­ся преж­ним. Таким об­ра­зом, кон­цен­тра­ция по­лу­чен­но­го рас­тво­ра равна:

.

Ответ: 5.

Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный отрезок за прыжок...

Одна из задач на смекалку.  
Входит в состав ЕГЭ по математике 2017 года базового уровня под №20

Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный отрезок за прыжок. Сколько существует различных точек на координатной прямой, в которых кузнечик может оказаться, сделав ровно 6 прыжков, начиная прыгать из начала координат?

Решение: Чтобы решить данную задачу попробуем рассмотреть все возможные пути кузнечика, которые содержат ровно 6 прыжков из начала координат. Для этого рассмотрим все варианты, сколько прыжков влево и вправо за весь путь может сделать кузнечик. Порядок прыжков нам не важен, важна лишь итоговая точка.

Первый вариант: 6 прыжков вправо. Кузнечик окажется в точке 6.

Второй вариант: 5 прыжков вправо, 1 прыжок влево. Кузнечик окажется в точке 4.

Третий вариант: 4 прыжка вправо, 2 прыжка влево. Кузнечик окажется в точке 2.

Четвертый вариант: 3 прыжка вправо, 3 прыжка влево. Кузнечик окажется в точке 0.

Пятый вариант: 2 прыжка вправо, 4 прыжка влево. Кузнечик окажется в точке –2.

Шестой вариант: 1 прыжок вправо, 5 прыжков влево. Кузнечик окажется в точке –4.

Седьмой вариант: 6 прыжков влево. Кузнечик окажется в точке –6.

Таким образом, за четное число прыжков кузнечик может оказаться в любой четной точке, таких точек ровно 7. Если бы кузнечик сделал нечетное число прыжков, он бы оказался в любой нечетной точке из всех возможных.

Ответ: 7

Семья со­сто­ит из мужа, жены и их до­че­ри сту­дент­ки. Если бы зар­пла­та мужа...

Задача входит в состав ЕГЭ профильного уровня 2017 года под №11

Семья со­сто­ит из мужа, жены и их до­че­ри сту­дент­ки. Если бы зар­пла­та мужа уве­ли­чи­лась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы сти­пен­дия до­че­ри умень­ши­лась втрое, общий доход семьи со­кра­тил­ся бы на 4%. Сколь­ко про­цен­тов от об­ще­го до­хо­да семьи со­став­ля­ет зар­пла­та жены?

Решение.
Читаем внимательно условие задачи. Слова "если бы зар­пла­та мужа уве­ли­чи­лась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%" надо понимать так, что зарплата мужа составляет 67% дохода семьи. Следующая фраза: "если бы сти­пен­дия до­че­ри умень­ши­лась втрое, общий доход семьи со­кра­тил­ся бы на 4%", говорит нам о том, что 2/3 стипендии дочери составляют 4% дохода семьи, а значит вся стипендия составляет 6% дохода семьи. Осталось ответить на вопрос задачи, а именно, зарплата жены составляет 100% - 67% - 6% = 27% дохода семьи.

Ответ: 27

Че­ты­ре оди­на­ко­вые ру­баш­ки де­шев­ле курт­ки на 8%. На сколь­ко про­цен­тов...

Задача входит в состав ЕГЭ профильного уровня 2017 года под №11

Че­ты­ре оди­на­ко­вые ру­баш­ки де­шев­ле курт­ки на 8%. На сколь­ко про­цен­тов пять таких же ру­ба­шек до­ро­же курт­ки?

Решение.
Стоимость куртки примем за 100%. Че­ты­ре оди­на­ко­вые ру­баш­ки составляют 92% стоимости куртки. Тогда одна рубашка составит 92% : 4 = 23% стоимости куртки. Найдём, сколько процентов стоимости куртки составят 5 таких же рубашек: 23% • 5 = 115%. Это превышает стоимость куртки на 15%.

Ответ: 15

В понедельник акции компании подорожали на некоторое число процентов, а во вторник подешевели...

Задача входит в состав ЕГЭ профильного уровня 2017 года под №11 

В понедельник акции компании подорожали на некоторое число процентов, а во вторник подешевели на то же самое число процентов. В результате они стали стоить на 4% дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?

Немного теории.

1. 1% - это 1/100 часть чего-либо.
Информация о том, что товар подешевел, например, на 10% нам ничего не говорит о стоимости товара, потому что надо знать, от какого числа берут эти 10%

2. При сравнении двух чисел за 100% всегда берем то, с чем сравниваем. Например, если известно, что число А больше числа В на 30%, значит, число В мы принимаем за 100%, и число А тогда будет 130% от В: A = 130/100 B = 1,3 B.

3. Если мы хотим увеличить число А на Р%, то мы к числу А прибавляем от А и получаем:



4. Если мы хотим уменьшить число А на Р%, то мы из числа А вычитаем от А и получаем:
 

Приступим к решению задачи.

Пусть первоначальная стоимость акций была А руб.
И пусть в понедельник акции компании подорожали на Р процентов.
Тогда акции стали стоить  руб.
Во вторник акции подешевели на то же самое число
процентов, следовательно, умножим новую стоимость акций на  .
Получим:
.
Так как в результате акции  стали стоить на 4% дешевле, чем при открытии торгов в понедельник, значит их стоимость составила 96% от первоначальной стоимости, то есть 0,96А.
Приравняем эти величины и получим уравнение:

Разделим обе части равенства на А:

Применим формулу разности квадратов для левой части равенства:



P = 20%

Ответ: 20

Сколько вариантов обеда могут выбрать посетители ресторана?

Одна из задач на смекалку. Входит в состав ЕГЭ по математике 2017 года базового уровня под №20

Пример задачи:  

В меню ресторана имеется 6 видов салатов, 3 вида первых блюд, 5 видов вторых блюд и 4 вида десерта. Сколько вариантов обеда из салата, первого, второго и десерта могут выбрать посетители этого ресторана?

Решение: Поскольку существует 6 вариантов выбора салата, 3 варианта выбора первого блюда, 5 вариантов выбора второго блюда и 4 варианта выбора десерта, число вариантов обеда можно посчитать, перемножив данные числа:

6 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 4 = 360

Ответ: 360

В общем виде решение данной задачи на смекалку выглядит следующим образом:

ЧИСЛО ВАРИАНТОВ ОБЕДА = A ⋅ B ⋅ C ⋅ D

где A – число видов салата, B – число видов первых блюд, C – число видов вторых блюд, D – число видов десерта. Осталось лишь подставить все значения, перемножить и получить ответ.

Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт...

Одна из задач на смекалку. Входит в состав ЕГЭ по математике 2017 года базового уровня под №20

Пример задачи:

Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в десятом подъезде в квартире № 333, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом девятиэтажный. На каком этаже живёт Саша? (На всех этажах число квартир одинаково, номера квартир в доме начинаются с единицы.)

Решение: Пусть Х - число квартир на этаже. Тогда в любом подъезде количество квартир равно: Х ⋅ 9.  Чтобы получить диапазон, в котором находится квартира Саши, вычислим номер первой и последней квартиры в десятом подъезде:

Х ⋅ 9 ⋅ 9 + 1 — номер первой квартиры в десятом подъезде;

Х ⋅ 9 ⋅ 10 — номер последней квартиры в десятом подъезде.

По условию задачи имеем, Х ⋅ 9 ⋅ 9 + 1 ≤ 333 ≤ Х ⋅ 9 ⋅ 10.  

Из этого неравенства можно вычислить количество квартир на этаже:

81 ⋅ Х + 1 ≤ 333, откуда, 81 ⋅ Х ≤ 332, Х ≤ 4,1 (округлили до десятых).

С другой стороны, 90 ⋅ Х ≥ 333. Имеем,  Х ≥ 3,7.

Единственное целое число из полученного диапазона равно 4. Значит, на каждом этаже находится ровно 4 квартиры.

Теперь можно вычислить номер первой квартиры в 10 подъезде:

4 ⋅ 9 ⋅ 9 + 1 = 325. Первая квартира в 10 подъезде находится на первом этаже.

Вычислим, на каком этаже живет Саша:

1 этаж: 325, 326, 327, 328

2 этаж: 329, 330, 331, 332

3 этаж: 333, ... Таким образом, квартира Саши находится на 3 этаже.

Ответ: 3