В понедельник акции компании подорожали на некоторое число процентов, а во вторник подешевели...

Задача входит в состав ЕГЭ профильного уровня 2017 года под №11 

В понедельник акции компании подорожали на некоторое число процентов, а во вторник подешевели на то же самое число процентов. В результате они стали стоить на 4% дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?

Немного теории.

1. 1% - это 1/100 часть чего-либо.
Информация о том, что товар подешевел, например, на 10% нам ничего не говорит о стоимости товара, потому что надо знать, от какого числа берут эти 10%

2. При сравнении двух чисел за 100% всегда берем то, с чем сравниваем. Например, если известно, что число А больше числа В на 30%, значит, число В мы принимаем за 100%, и число А тогда будет 130% от В: A = 130/100 B = 1,3 B.

3. Если мы хотим увеличить число А на Р%, то мы к числу А прибавляем от А и получаем:



4. Если мы хотим уменьшить число А на Р%, то мы из числа А вычитаем от А и получаем:
 

Приступим к решению задачи.

Пусть первоначальная стоимость акций была А руб.
И пусть в понедельник акции компании подорожали на Р процентов.
Тогда акции стали стоить  руб.
Во вторник акции подешевели на то же самое число
процентов, следовательно, умножим новую стоимость акций на  .
Получим:
.
Так как в результате акции  стали стоить на 4% дешевле, чем при открытии торгов в понедельник, значит их стоимость составила 96% от первоначальной стоимости, то есть 0,96А.
Приравняем эти величины и получим уравнение:

Разделим обе части равенства на А:

Применим формулу разности квадратов для левой части равенства:



P = 20%

Ответ: 20

Сколько вариантов обеда могут выбрать посетители ресторана?

Одна из задач на смекалку. Входит в состав ЕГЭ по математике 2017 года базового уровня под №20

Пример задачи:  

В меню ресторана имеется 6 видов салатов, 3 вида первых блюд, 5 видов вторых блюд и 4 вида десерта. Сколько вариантов обеда из салата, первого, второго и десерта могут выбрать посетители этого ресторана?

Решение: Поскольку существует 6 вариантов выбора салата, 3 варианта выбора первого блюда, 5 вариантов выбора второго блюда и 4 варианта выбора десерта, число вариантов обеда можно посчитать, перемножив данные числа:

6 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 4 = 360

Ответ: 360

В общем виде решение данной задачи на смекалку выглядит следующим образом:

ЧИСЛО ВАРИАНТОВ ОБЕДА = A ⋅ B ⋅ C ⋅ D

где A – число видов салата, B – число видов первых блюд, C – число видов вторых блюд, D – число видов десерта. Осталось лишь подставить все значения, перемножить и получить ответ.

Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт...

Одна из задач на смекалку. Входит в состав ЕГЭ по математике 2017 года базового уровня под №20

Пример задачи:

Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в десятом подъезде в квартире № 333, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом девятиэтажный. На каком этаже живёт Саша? (На всех этажах число квартир одинаково, номера квартир в доме начинаются с единицы.)

Решение: Пусть Х - число квартир на этаже. Тогда в любом подъезде количество квартир равно: Х ⋅ 9.  Чтобы получить диапазон, в котором находится квартира Саши, вычислим номер первой и последней квартиры в десятом подъезде:

Х ⋅ 9 ⋅ 9 + 1 — номер первой квартиры в десятом подъезде;

Х ⋅ 9 ⋅ 10 — номер последней квартиры в десятом подъезде.

По условию задачи имеем, Х ⋅ 9 ⋅ 9 + 1 ≤ 333 ≤ Х ⋅ 9 ⋅ 10.  

Из этого неравенства можно вычислить количество квартир на этаже:

81 ⋅ Х + 1 ≤ 333, откуда, 81 ⋅ Х ≤ 332, Х ≤ 4,1 (округлили до десятых).

С другой стороны, 90 ⋅ Х ≥ 333. Имеем,  Х ≥ 3,7.

Единственное целое число из полученного диапазона равно 4. Значит, на каждом этаже находится ровно 4 квартиры.

Теперь можно вычислить номер первой квартиры в 10 подъезде:

4 ⋅ 9 ⋅ 9 + 1 = 325. Первая квартира в 10 подъезде находится на первом этаже.

Вычислим, на каком этаже живет Саша:

1 этаж: 325, 326, 327, 328

2 этаж: 329, 330, 331, 332

3 этаж: 333, ... Таким образом, квартира Саши находится на 3 этаже.

Ответ: 3

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника...

Одна из задач на смекалку. Входит в состав ЕГЭ по математике 2017 года базового уровня под № 20

Пример задачи: 

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 24, 28 и 16. Найдите периметр четвёртого прямоугольника.

Решение: Для удобства дадим название каждой стороне прямоугольника (см. рисунок).

И распишем, чему равен периметр каждого маленького прямоугольника по часовой стрелке, начиная с левого верхнего:

P1 = 2a + 2c = 24

P2 = 2b + 2c = 28

P3 = 2b + 2d = 16

P4 = 2a + 2d = ?

Выразим стороны a и d из первого и третьего периметра и подставим их в периметр четвертого прямоугольника:

2a = 24 – 2c

2d = 16 – 2b

P4 = 24 – 2c + 16 – 2b

Мы также можем выразить сторону b через второй периметр, чтобы периметр четвертого прямоугольника был выражен только через одну сторону:

2b = 28 – 2c

P4 = 24 – 2c + 16 – (28 – 2c) = 24 – 2c + 16 – 28 + 2c = 24 + 16 – 28 = 12

В результате все неизвестные сократились, и был найден периметр четверного прямоугольника, равный 12.

Ответ: 12

На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цвета...

Одна из задач на смекалку. Входит в состав ЕГЭ по математике 2017 года базового уровня под номером 20

Пример задачи:

На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цвета. Если распилить палку по красным линиям, то получится 5 кусков, если по жёлтым — 7 кусков, а если по зелёным — 11 кусков. Сколько кусков получится, если распилить палку по линиям всех трёх цветов?

Решение:

Если распилить палку только по красным линиям, чтобы получилось 5 кусков, то получим количество красных линий: их 4.

Распилим теперь палку на 7 кусков и получим, что желтых линий 6.

Точно также распилим палку на 11 кусков, и окажется, что зеленых линий на палке 10. Количество всех линий на палке равно 4 + 6 + 10 = 20, следовательно, кусков 21.

Примечание. Нам не важен цвет линий и порядок, в котором мы распиливаем палку. Главное, что линии не совпадают.

Ответ: 21

В корзине лежит N грибов: рыжики и грузди...

Одна из задач на смекалку. Входит в состав ЕГЭ по математике 2017 года базового уровня под номером 20

Пример задачи:

В корзине лежит 50 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 28 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 24 грибов хотя бы один груздь. Сколько груздей в корзине?

Решение:

Возьмем из корзины любые 28 грибов. По условию среди них есть хотя бы один рыжик. Отложим рыжик в сторону, а к оставшимся добавим еще один гриб из корзины, чтобы грибов стало вновь 28 штук. Теперь среди них опять есть хотя бы один рыжик, который опять отложим в сторону, а из корзины возьмём еще один гриб. Будем повторять эти действия до тех пор, пока в корзине не закончатся грибы, и посчитаем, сколько рыжиков мы отложили в сторону. Получилось, что в корзине рыжиков 23 (50 - 28 + 1) или более, поскольку среди оставшихся 28 грибов могут быть еще рыжики. То же самое делаем и с груздями: возьмём из корзины любые 24 гриба, среди них есть хотя бы 1 груздь, который отложим в сторону. К оставшимся грибам добавим еще один из корзины и вновь получим 24 гриба, среди которых есть хотя бы один груздь. Будем повторять действия до тех пор, пока не закончатся грибы в корзине и посчитаем количество отложенных груздей. Их должно получиться 27 штук или более (50 - 24 + 1). Таким образом, мы знаем, что в корзине не менее 23 рыжиков и не менее 27 груздей. А поскольку всего грибов в корзине 50, значит там лежит ровно 23 рыжика и ровно 27 груздей.

Ответ: 27

Пример задачи: В корзине лежит 50 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 28 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 24 грибов хотя бы один груздь. Сколько груздей в корзине? Решение: Возьмем из корзины любые 28 грибов. Мы знаем, что среди них есть хотя бы один рыжик. Откладываем рыжик в сторону и добавляем к ним еще один гриб из корзины, чтобы грибов стало вновь 28 штук. Теперь среди них опять есть хотя бы один рыжик, который мы опять откладываем в сторону, а из корзины берем еще один гриб. Повторяем эти действия до тех пор, пока в корзине не закончатся грибы, и считаем, сколько рыжиков мы отложили в сторону. Получилось, что в корзине 23 рыжиков (50 - 28 + 1) или более, поскольку среди оставшихся 28 грибов могут быть еще рыжики. То же самое делаем и с груздями: берем из корзины любые 24 гриба, среди них есть хотя бы 1 груздь, который откладываем в сторону. К грибам добавляем еще один из корзины и вновь получаем 24 гриба, среди которых есть хотя бы один груздь. Повторяем действия до тех пор, пока не закончатся грибы в корзине и считаем количество отложенных груздей. Их получилось 27 штук или более (50 - 24 + 1). Таким образом, мы знаем что в корзине не менее 23 рыжиков и не менее 27 груздей. А поскольку всего грибов в корзине 50, значит там лежит ровно 23 рыжика и ровно 27 груздей. Ответ: 27

Источник: http://worksbase.ru/matematika/kak-reshat/1-v-korzine-lezhit-ryzhiki-i-gruzdi.html